https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2014/Rikei

2025.05.10記

[6] 双曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の第1象限にある部分と，原点 $\mbox{O}$ を中心とする円の第1象限にある部分を，それぞれ $C_1$ ， $C_2$ とする． $C_1$ と $C_2$ は2つの異なる点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ で交わり，点 $\mbox{A}$ における $C_1$ の接線 $l$ と線分 $\mbox{OA}$ のなす角は $\dfrac{\pi}{6}$ であるとする．このとき， $C_1$ と $C_2$ で囲まれる図形の面積を求めよ．

本問のテーマ

反比例のグラフの接線について接点は両軸との交点の中点
反比例のグラフの2点と原点を結ぶ2線分と反比例のグラフで囲まれる部分の面積

2025.06.01記
備忘録：双曲線の扱い(知識の継承) - 球面倶楽部零八式 mark II
でも述べたように反比例のグラフの接線について接点は両軸との交点の中点となる．

2001年(平成13年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
のように $y=\dfrac{1}{x}$ 上の2点（ $x=\alpha(\gt 0)，\beta(\gt 0)$ ）と原点を結ぶ2線分と反比例のグラフで囲まれる部分の面積は等積変形により $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \dfrac{1}{x}\, dx=\log\dfrac{\beta}{\alpha}$ となる．

[うまい解答]
$\mbox{A}\left(a，\dfrac{1}{a}\right)$ とおく． $C_1$ の $\mbox{A}$ における接線と $x$ 軸の交点は $\mbox{D}(2a，0)$ となるので $\triangle\mbox{AOD}$ は $\rm AO=AD$ の2等辺三角形となり，よって底角は $\dfrac{5\pi}{12}$ である．

よって $a=r\cos\dfrac{5\pi}{12}$ ， $\dfrac{1}{a}=r\sin\dfrac{5\pi}{12}$ となる $r\gt 0$ が存在し， $2r^2\sin\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{5\pi}{12}=2$ から $r^2\sin\dfrac{5\pi}{6}=2$ を経て $r=2$ となる．

このとき $a=2\cos\dfrac{5\pi}{12}$ ， $b:=\dfrac{1}{a}=2\sin\dfrac{5\pi}{12}=2\cos\dfrac{\pi}{12}$ を用いて $\mbox{A}(a，b)$ ， $\mbox{B}(b，a)$ ， $\angle\mbox{AOB}=\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}$ となるので，求める面積は