https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2014/Rikei

2025.05.10記

[5] 自然数 $a$ ， $b$ はどちらも3で割り切れないが， $a^3+b^3$ は81で割り切れる．このような $a$ ， $b$ の組 $(a，b)$ のうち， $a^2+b^2$ の値を最小にするものと，そのときの $a^2+b^2$ の値を求めよ．

2025.06.01記
京大の好きな mod 3 で考える．

[解答]
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$ であるから， $(a+b)^3$ は3の倍数となり，よって $a+b$ も3の倍数となる．

ここで $a+b$ が9の倍数でないと仮定すると $(a+b)^3$ は $27$ の倍数だが， $3ab(a+b)$ は $9$ の倍数であり $27$ の倍数でないことから $a^3+b^3$ は $27$ で割り切れないこととなり， $81$ で割り切れることに反する．よって $a+b$ は $9$ の倍数である．

同様に $a+b$ が $9$ の倍数だが $27$ の倍数でないと仮定すると $(a+b)^3$ は $81$ の倍数だが， $3ab(a+b)$ は $27$ の倍数であり $81$ の倍数でないことから $a^3+b^3$ は $81$ で割り切れないこととなり， $81$ で割り切れることに反する．よって $a+b$ は $27$ の倍数である．

そして $a+b$ が $27$ の倍数ならば $(a+b)^3$ ， $3ab(a+b)$ は共に $81$ の倍数となる．

よって自然数 $a$ ， $b$ はどちらも3で割り切れないが， $a^3+b^3$ は81で割り切れるための必要十分条件は
「自然数 $a$ ， $b$ はどちらも3で割り切れないが， $a+b$ は $27$ で割り切れる」となる．

このとき $a^2+b^2=\dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}\geqq \dfrac{27^2+1^2}{2}$ （等号成立は $a+b=27$ ， $|a-b|=1$ ）となり $(a，b)=(13，14)，(14，13)$ となり，自然数 $a$ ， $b$ はどちらも3で割り切れないので条件を満たす．このとき $a^2+b^2=169+196=365$ となる．