https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2014/Rikei

2025.05.10記

[3] $\triangle\mbox{ABC}$ は，条件 $\angle\mbox{B}=2\angle\mbox{A}$ ， $\mbox{BC}=1$ を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする．
このとき， $\cos\angle\mbox{B}$ を求めよ．

2025.05.29記

[解答]
$\angle C\gt 0$ より $0\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{3}$ である．

正弦定理より $\mbox{AC}=\dfrac{\sin2\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta$ であるから，
$\triangle\mbox{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot2\cos\theta\cdot\sin3\theta$ $=\cos\theta\cdot\sin3\theta=\dfrac{\sin 4\theta-\sin 2\theta}{2}:=f(\theta)$
となる．
$f'(\theta)=2\cos 4\theta+\cos 2\theta=4\cos^2 2\theta+\cos 2\theta-2$
は $\cos2\theta$ ， $\cos^2 2\theta$ の係数が正であることから $0\lt 2\theta\lt \dfrac{2\pi}{3}$ （ $1\gt \cos2\theta\gt -\dfrac{1}{2}$ ）の範囲で単調減少となり $f(x)$ は上に凸となり，この範囲の $f'(\theta)=0$ を満たす $\cos2\theta=\dfrac{\sqrt{33}-1}{8}$ のときに極大かつ最大となる．

よってこのとき， $\cos\angle\mbox{B}=\cos2\theta=\dfrac{\sqrt{33}-1}{8}$ となる．

$f'(\theta)=-\sin\theta\sin3\theta+3\cos\theta\cos3\theta$
$=-\sin\theta(3\sin\theta-4\sin^3\theta)+3\cos\theta(4\cos^3\theta-3\cos\theta)$
$=-3\sin^2\theta+4\sin^4\theta+12\cos^4\theta-9\cos^2\theta$
$=-3(1-\cos^2\theta)+4(1-\cos^2\theta)^2+12\cos^4\theta-9\cos^2\theta$
$=16\cos^4\theta-14\cos^2\theta-1$

として複2次方程式を解くことも考えられるが，求めるものは $\cos \angle\mbox{B}=\cos 2\theta$ なので
$f'(\theta)$ $=-3\cdot\dfrac{1-2\cos\theta}{2}+4\cdot\dfrac{(1-2\cos2\theta)^2}{4}+12\cdot\dfrac{(1+2\cos2\theta)^2}{4}-9\cdot\dfrac{1+2\cos\theta}{2}$
と変形する方が良い．まぁ目標が $\cos 2\theta$ で表すことなので[解答]のように始めから和積を使えってことだ．