https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2014/Rikei

2025.05.10記

[2] 2つの粒子が時刻 $0$ において $\triangle\mbox{ABC}$ の頂点 $\mbox{A}$ に位置している．これらの粒子は独立に運動し，それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする．たとえば，ある時刻で点 $\mbox{C}$ にいる粒子は，その1秒後には点 $\mbox{A}$ または点 $\mbox{B}$ にそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ の確率で移動する．この2つの粒子が，時刻0の $n$ 秒後に同じ点にいる確率 $p(n)$ を求めよ．

2025.05.27記

[解答]
2つの粒子が同じ場所にいる時刻の次に同じ場所にいる確率は $\dfrac{1}{2}$ ，2つの粒子が違う場所にいる時刻の次に同じ場所にいる確率は $\dfrac{1}{4}$ であるから，

$p(0)=1$ ， $p(n)=\dfrac{1}{2}p(n-1)+\dfrac{1}{4}\{1-p(n-1)\}=\dfrac{1}{4}p(n-1)+\dfrac{1}{4}$

を解いて $p(n)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3\cdot 4^n}$ となる．