https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2014/Rikei

2025.05.10記

[1] 座標空間における次の3つの直線 $l$ ， $m$ ， $n$ を考える：

$l$ は点 $\mbox{A}(1，0，-2)$ を通り，ベクトル $\vec{u}=(2，1，-1)$ に平行な直線である．

$m$ は点 $\mbox{B}(1，2，-3)$ を通り，ベクトル $\vec{v}=(1，-1，1)$ に平行な直線である．

$n$ は点 $\mbox{C}(1，-1，0)$ を通り，ベクトル $\vec{w}=(1，2，1)$ に平行な直線である．

$\mbox{P}$ を $l$ 上の点として， $\mbox{P}$ から $m$ ， $n$ へ下ろした垂線の足をそれぞれ $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とする．このとき， $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ を最小にするような $\mbox{P}$ と，そのときの $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ を求めよ．

旧版 2014年(平成26年)京都大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR を整理して再掲．

2025.05.27(00:53:28)，2025.06.01記
動くものが3つもあるので幾何的に考えるのは難しいので素直の計算で解く．

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{OP}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+p\vec{u}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\overrightarrow{\mbox{OB}}+q\vec{v}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OR}}=\overrightarrow{\mbox{OC}}+r\vec{w}$ とおくと
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\overrightarrow{\mbox{AB}}+q\vec{v}-p\vec{u}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PR}}=\overrightarrow{\mbox{AC}}+r\vec{w}-p\vec{u}$
であり，
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}\bullet\vec{v}=0$ ， $\overrightarrow{\mbox{PR}}\bullet\vec{w}=0$
から
$\overrightarrow{\mbox{AB}}\bullet\vec{v}+q\vec{v}\bullet\vec{v}=p\vec{u}\bullet\vec{v}$ ， $\overrightarrow{\mbox{AC}}\bullet\vec{w}+r\vec{w}\bullet\vec{w}=p\vec{u}\bullet\vec{w}$
が成立する．よって $-3+3q=0p$ ， $0+6r=3p$ ，つまり $p=2r$ ， $q=1$ が成立する．

このとき
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=\overrightarrow{\mbox{AB}}+\vec{v}-2r\vec{u}=(-4r+1，-2r+1，2r)$ ， $\overrightarrow{\mbox{PR}}=\overrightarrow{\mbox{AC}}+r\vec{w}-2r\vec{u}=(-3r，-1，3r+2)$
となり，
$\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ $=42r^2+7$
となる．よって $r=0$ のとき最小となり，このとき $p=0$ だから
$\mbox{P}(1，0，-2)$ ， $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ $=7$
となる．

真面目に計算すると
$p=\dfrac{(\overrightarrow{\mbox{AB}}+\overrightarrow{\mbox{AC})}\bullet\vec{u}-\dfrac{(\overrightarrow{\mbox{AB}}\bullet\vec{v})(\vec{u}\bullet\vec{v})}{|\vec{v}|^2}-\dfrac{(\overrightarrow{\mbox{AC}}\bullet\vec{w})(\vec{u}\bullet\vec{w})}{|\vec{w}|^2}}{2|\vec{u}|^2-\dfrac{(\vec{u}\bullet\vec{v})^2}{|\vec{v}|^2}-\dfrac{(\vec{u}\bullet\vec{w})^2}{|\vec{w}|^2}}$
のときに $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ が最小となる．

さて，三垂線の定理を考えると次のことが言える．

$l$ を含み $m$ に平行な平面 $\pi_m$ に $m$ を正射影した直線 $m'$ と $m$ の距離（結局 $l$ と $m$ の共通垂線の長さ）を $d_m$ とおき， $\mbox{P}$ から $m'$ に下した垂線の足を $\mbox{Q}'$ とすると $\mbox{PQ}^2=(\mbox{PQ}')^2+d_m^2$ となる．

さらに， $l$ と $m'$ の交点を $\mbox{P}_m$ とし， $l$ と $m'$ のなす角度を $\theta_m$ （ $0\lt\theta_m\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ）とする．ここで $l$ と $m$ は捩れの位置にあるので $\theta_m\neq 0$ である．

このとき， $\mbox{PQ}'=\mbox{PP}_m\sin\theta_m$ である．

同様に $l$ を含み $n$ に平行な平面 $\pi_n$ に $n$ を正射影した直線 $n'$ と $n$ の距離（結局 $l$ と $n$ の共通垂線の長さ）を $d_n$ とおき， $\mbox{P}$ から $n'$ に下した垂線の足を $\mbox{R}'$ とし， $l$ と $n'$ の交点を $\mbox{P}_n$ とし， $l$ と $n'$ のなす角度を $\theta_n$ （ $0\lt\theta_n\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ）とすると， $\mbox{PR}'=\mbox{PP}_n\sin\theta_n$ であり， $\mbox{PR}^2=(\mbox{PR}')^2+d_n^2$ となる．

よって， $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2=\mbox{PP}_m^2\sin^2\theta_m+\mbox{PP}_n^2\sin^2\theta_n+d_m^2+d_n^2$ となる．

ここでシュワルツの不等式により
$\left(\dfrac{1}{\sin^2\theta_m}+\dfrac{1}{\sin^2\theta_n}\right)(\mbox{PP}_m^2\sin^2\theta_m+\mbox{PP}_n^2\sin^2\theta_n)$ $\geqq (\mbox{PP}_m+\mbox{PP}_n)^2$ $\geqq (\mbox{P}_m\mbox{P}_n)^2$
（等号成立は $\mbox{PP}_m:\mbox{PP}_n=\sin^2\theta_n:\sin^2\theta_m$ かつ $\mbox{P}$ は線分 $\mbox{P}_m\mbox{P}_n$ 上）
となる．このとき $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ の最小値は
$\dfrac{\sin^2\theta_m\sin^2\theta_n}{\sin^2\theta_m+\sin^2\theta_n}(\mbox{P}_m\mbox{P}_n)^2+d_m^2+d_n^2$
となる．本問の場合，次の[うまい解答]にように $\theta_m=\dfrac{\pi}{2}$ ， $\theta_m=\dfrac{\pi}{3}$ ， $\mbox{P}_m\mbox{P}_n=\dfrac{7}{\sqrt{6}}$ ， $d_m=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ， $d_n=\sqrt{3}$ であるから， $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ の最小値は
$\dfrac{1\cdot\dfrac{3}{4}}{1+\dfrac{3}{4}}\cdot\dfrac{7^2}{6}+\dfrac{1}{2}+3$ $=\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}+3=7$
となる．

このように幾何学的に解くことができたが，実際の計算は[解答]と同じことを遠回りで行っているに過ぎない（幾何学的に解くには $\mbox{P}_m，\mbox{P}_n$ （での $p$ の値）， $d_m，d_n$ を求める必要があるが，これを意識せずに[解答]では同じ計算を行っている）．

[うまい解答]（細かい計算は省略する）
$\overrightarrow{\mbox{OP}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+p\vec{u}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\overrightarrow{\mbox{OB}}+q\vec{v}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OR}}=\overrightarrow{\mbox{OC}}+r\vec{w}$ とおく．

$l$ と $m$ の共通垂線は $p=p_m=\dfrac{1}{2}$ ， $q=1$ のときで，共通垂線の長さは $d_m=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であり， $l$ と $m$ のなす角度は $\theta_m=\dfrac{\pi}{2}$ である．

$l$ と $n$ の共通垂線は $p=p_n=-\dfrac{2}{3}$ ， $r=-\dfrac{1}{3}$ のときで，共通垂線の長さは $d_n=\sqrt{3}$ であり， $l$ と $n$ のなす角度は $\theta_n=\dfrac{\pi}{3}$ である．

よって
$\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ $=(|\vec{u}|^2\sin^2\theta_m)\cdot(p-p_m)^2+(|\vec{u}|^2\sin^2\theta_n)\cdot (p-p_n)^2+d_m^2+d_n^2$
$=\dfrac{9}{2}\left(p+\dfrac{2}{3}\right)^2+6\left(p-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}+3$ $=\dfrac{21}{2}p^2+7$
となる．よって $p=0$ のとき最小となり， $\mbox{P}(1，0，-2)$ ， $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ $=7$ となる．

$\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ を普通に平方完成すれば
$\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ $=(|\vec{u}|^2\sin^2\theta_m)\cdot(p-p_m)^2+(|\vec{u}|^2\sin^2\theta_n)\cdot (p-p_n)^2+d_m^2+d_n^2$
となり， $p=\dfrac{p_m\sin^2\theta_m+p_n\sin^2\theta_n}{\sin^2\theta_m+\sin^2\theta_n}$ （内分点の公式を想像せよ）のときに最小となることがわかる．これは幾何学的考察のときにシュワルツの不等式を用いて解いた部分を平方完成で解いたことになっている．

結局，幾何学的考察により，本問は

$\mbox{P}_m\mbox{P}_n=\dfrac{7}{\sqrt{6}}$ ， $\angle \mbox{OP}_m\mbox{P}_n=\dfrac{\pi}{2}$ ， $\angle\mbox{OP}_n\mbox{P}_m=\dfrac{\pi}{3}$ なる三角形 $\mbox{OP}_m\mbox{P}_n$ に対して直線 $\mbox{P}_m\mbox{P}_n$ 上に点 $\mbox{P}$ をとり， $\mbox{P}$ から直線 $\mbox{OP}_m$ ， $\mbox{OP}_n$ に下した垂線の足を $\mbox{Q}'，\mbox{R}'$ とするとき $(\mbox{PQ}')^2+(\mbox{PR}')^2$ を最小にするような $\mbox{P}$ を求めよ．

という平面図形の問題に帰着されている（求める $\mbox{P}$ は $\mbox{P}_m\mbox{P}_n$ を $2^2:(\sqrt{3})^2=4:3$ に内分する点）．

なお，本問は $m，n$ が捩れの位置にある2直線の場合には

$l，m，n$ の単位方向ベクトルを $\vec{u}，\vec{v}$ ， $\vec{w}$ とするとき， $m，n$ の共通垂線の中点 $\mbox{M}$ を通り法線ベクトルが $2\vec{u}-(\vec{u}\bullet\vec{v})\vec{v}-(\vec{u}\bullet\vec{w})\vec{w}$ である平面と $l$ の交点が求める $\mbox{P}$ となる

と一般化することができる（詳細は旧版 2014年(平成26年)京都大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 参照）．そして本問の場合，共通垂線は $m$ 上の点 $(3，0，-1)$ と $n$ 上の点 $\left(\dfrac{3}{2}，0，\dfrac{1}{2}\right)$ を通る直線で， $\mbox{M}\left(\dfrac{9}{4}，0，-\dfrac{1}{4}\right)$ であり，単位ベクトル化した $\vec{u}，\vec{v}，\vec{w}$ から $2\vec{u}-(\vec{u}\bullet\vec{v})\vec{v}-(\vec{u}\bullet\vec{w})\vec{w}=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}(7，2，-5)$ となることから平面 $7(x-9/4)+2y-5(z+1/4)=0$ と $l$ の交点 $(1，0，-2)$ が求める $\mbox{P}$ となることになる．