https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2014/Rikei

2025.05.10記

[1] 座標空間における次の3つの直線 $l$ ， $m$ ， $n$ を考える：

$l$ は点 $\mbox{A}(1，0，-2)$ を通り，ベクトル $\vec{u}=(2，1，-1)$ に平行な直線である．

$m$ は点 $\mbox{B}(1，2，-3)$ を通り，ベクトル $\vec{v}=(1，-1，1)$ に平行な直線である．

$n$ は点 $\mbox{C}(1，-1，0)$ を通り，ベクトル $\vec{w}=(1，2，1)$ に平行な直線である．

$\mbox{P}$ を $l$ 上の点として， $\mbox{P}$ から $m$ ， $n$ へ下ろした垂線の足をそれぞれ $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とする．このとき， $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ を最小にするような $\mbox{P}$ と，そのときの $\mbox{PQ}^2+\mbox{PR}^2$ を求めよ．

[2] 2つの粒子が時刻 $0$ において $\triangle\mbox{ABC}$ の頂点 $\mbox{A}$ に位置している．これらの粒子は独立に運動し，それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする．たとえば，ある時刻で点 $\mbox{C}$ にいる粒子は，その1秒後には点 $\mbox{A}$ または点 $\mbox{B}$ にそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ の確率で移動する．この2つの粒子が，時刻0の $n$ 秒後に同じ点にいる確率 $p(n)$ を求めよ．

[3] $\triangle\mbox{ABC}$ は，条件 $\angle\mbox{B}=2\angle\mbox{A}$ ， $\mbox{BC}=1$ を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする．
このとき， $\cos\angle\mbox{B}$ を求めよ．

[4] 実数の定数 $a$ ， $b$ に対して，関数 $f(x)$ を

$f(x)=\dfrac{ax+b}{x^2+x+1}$

で定める．すべての実数 $x$ で不等式

$f(x)\leqq{f(x)}^3-2{f(x)}^2+2$

が成り立つような点 $(a，b)$ の範囲を図示せよ．

[5] 自然数 $a$ ， $b$ はどちらも3で割り切れないが， $a^3+b^3$ は81で割り切れる．このような $a$ ， $b$ の組 $(a，b)$ のうち， $a^2+b^2$ の値を最小にするものと，そのときの $a^2+b^2$ の値を求めよ．

[6] 双曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の第1象限にある部分と，原点 $\mbox{O}$ を中心とする円の第1象限にある部分を，それぞれ $C_1$ ， $C_2$ とする． $C_1$ と $C_2$ は2つの異なる点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ で交わり，点 $\mbox{A}$ における $C_1$ の接線 $l$ と線分 $\mbox{OA}$ のなす角は $\dfrac{\pi}{6}$ であるとする．このとき， $C_1$ と $C_2$ で囲まれる図形の面積を求めよ．

2014年(平成26年)京都大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2014年(平成26年)京都大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2014年(平成26年)京都大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2014年(平成26年)京都大学-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2014年(平成26年)京都大学-数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2014年(平成26年)京都大学-数学(理系)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR