https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2014/Bunkei

2025.05.10記

[2] $t$ を実数とする． $y=x^3-x$ のグラフ $C$ へ点 $\mbox{P}(1，t)$ から接線を引く．

(1) 接線がちょうど1本だけ引けるような $t$ の範囲を求めよ．

(2) $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき， $\mbox{P}(1，t)$ から $C$ へ引いた接線と $C$ で囲まれた部分の面積を $S(t)$ とする． $S(t)$ の取りうる値の範囲を求めよ．

本問のテーマ

3次関数の箱（4等分×2等分）

2025.06.08記

[解答]
(1) $y=f(x)=x^3-x$ 上の点 $(a，f(a))$ における接線の方程式は
$y=(3a^2-a)(x-a)+f(a)=(3a^2-1)x-2a^3$
であり，これが $\mbox{P}$ を通ることから
$t=-2a^3+3a^2-1$
が成立する．このような実数 $a$ が唯一であるような $t$ の範囲を求めれば良い．
$b=-2a^3+3a^2-1=:g(a)$
の増減表は $g'(a)=-6a(a-1)$ より次表：

$a$	$\cdots$	$-\dfrac{1}{2}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$\dfrac{3}{2}$	$\cdots$
$f'(a)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f(a)$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\searrow$

よって求める範囲は「 $t\lt -1$ または $0\lt t$ 」となる．

(2) 接点でない交点の $x$ 座標を $u$ とすると
$f(x)-\{(3a^2-1)x-2a^3\}=(x-a)^2(x-u)$
と因数分解できるので，解と係数の関係から $u=-2a$ となる．

ここで
$\displaystyle\int_{-2a}^a [ f(x)-\{(3a^2-1)x-2a^3\}]\, dx$ $=\displaystyle\int_{-2a}^a (x+2a)(x-a)^2\, dx$ $=\dfrac{27}{4}a^4$
であるから， $S(t)$ を $a$ の式で表すと $S(t)=\dfrac{27}{4}a^4$ となる．今， $b=g(a)$ のグラフにより「 $t\lt -1$ または $0\lt t$ 」の範囲において $a\lt-\dfrac{1}{2}$ または $\dfrac{3}{2}\lt a$ が成立するので， $S(t)\gt \dfrac{27}{4}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{27}{64}$ となる．