https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2014/Bunkei

2025.05.10記

[1] $0\leqq\theta\lt {90}^\circ$ とする． $x$ についての4次方程式

$\{ x^2-2(\cos\theta)x-\cos\theta+1 \} \{ x^2+2(\tan\theta)x+3 \} =0$

は虚数解を少なくとも1つ持つことを示せ．

2025.06.02記
「判別式の和が負なので少なくとも片方は負」という論法は残念ながら使えない．

[解答]
$x^2-2(\cos\theta)x-\cos\theta+1=0$ …① の判別式は $D_1=4(\cos^2\theta+\cos\theta-1)$ ， $x^2+2(\tan\theta)x+3=0$ …② の判別式は $D_2=4(\tan^2\theta-3)$ である．

(i) $0^{\circ}\leqq\theta\lt 60^{\circ}$ のとき $D_2\lt 0$ より，②が虚数解を持つ．

(ii) $60^{\circ}\leqq\theta\lt 90^{\circ}$ のとき $D_1\leqq \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1 \lt 0$ より，①が虚数解を持つ．

よって題意は示された．