2014年(平成26年)京都大学-数学(文系)

は虚数解を少なくとも1つ持つことを示せ．

[2] を実数とする． のグラフ へ点 から接線を引く．

(1) 接線がちょうど1本だけ引けるような の範囲を求めよ．

(2) が(1)で求めた範囲を動くとき， から へ引いた接線と で囲まれた部分の面積を とする． の取りうる値の範囲を求めよ．

[3] 座標空間における次の3つの直線 ，， を考える：

は点 を通り，ベクトル に平行な直線である．

は点 を通り，ベクトル に平行な直線である．

は点 を通り，ベクトル に平行な直線である．

を 上の点として， から ， へ下ろした垂線の足をそれぞれ ， とする．このとき， を最小にするような と，そのときの を求めよ．

[4] 次の式

， ，（ ）

で定められる数列 を考える．

(1) 数列 の一般項を求めよ．

(2) 次の不等式

を満たす最小の自然数 を求めよ．ただし， であることは用いてよい．

[5] 1から20までの目がふられた正20面体のサイコロがあり，それぞれの目が出る確率は等しいものとする． ， の2人がこのサイコロをそれぞれ一回ずつ投げ，大きな目を出した方はその目を得点とし，小さな目を出した方は得点を0とする．また同じ目が出た場合は，， ともに得点を0とする．このとき， の得点の期待値を求めよ．