https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2013/Rikei

2025.05.10記

[6] 投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する．数直線上に石を置き，この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し，裏が出れば数直線上で座標 $1$ の点に関して対称な点に石を移動する．

(1) 石が座標 $x$ の点にあるとする． $2$ 回硬貨を投げたとき，石が座標 $x$ の点にある確率を求めよ．

(2) 石が原点にあるとする． $n$ を自然数とし， $2n$ 回硬貨を投げたとき，石が座標 $2n-2$ の点にある確率を求めよ．

本問のテーマ

1次元の折り返しの合成は平行移動

2025.05.22記

折り返しの折り返しは平行移動となるので， $2$ 回続けて行ったときの平行移動量に着目する．

ちなみに平面における折り返しの合成は「回転または平行移動」となる．

[解答]
(1) 表表，裏裏と出ると移動しない．表裏と出ると $+2$ 移動する．裏表と出ると $-2$ 移動する．よって求める確率は $\dfrac{1}{2}$ である．

(2) $2$ 回投げたとき移動しない事象を $A$ ， $+2$ 移動する事象を $B$ ， $-2$ 移動する事象を $C$ とするとき， $2$ 回投げることを $n$ 回行ったとき，「 $B$ が起きた回数が $C$ が起きた回数よりも $n-1$ 回多い場合」に限り石の座標は $2n-2$ となる．このような場合は「 $A$ が1回， $B$ が $n-1$ 回， $C$ が $0$ 回」のときに限るので，求める確率は ${}_n\mbox{C}_1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^1\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$ $=\dfrac{n}{2^{2n-1}}$ となる．

2013年(平成25年)京都大学-数学(文系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の類題．