https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2013/Rikei

2025.05.10記

[5] $xy$ 平面内で， $y$ 軸上の点 $\mbox{P}$ を中心とする円 $C$ が2つの曲線

$C_1:y=\sqrt{3}\log(1+x)$ ， $C_2:y=\sqrt{3}\log(1-x)$

とそれぞれ点 $\mbox{A}$ ，点 $\mbox{B}$ で接しているとする．さらに $\triangle\mbox{PAB}$ は $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ が $y$ 軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき3つの曲線 $C$ ， $C_1$ ， $C_2$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

ただし，2つの曲線がある点で接するとは，その点を共有し，さらにその点において共通の接線をもつことである．

2025.05.22記

[解答]
$\mbox{A}(t，\sqrt{3}\log (1+t))$ （ $t\gt -1$ ）とおくと， $\mbox{A}$ における $C_1$ の法線の傾きは $\pm\sqrt{3}$ であることから $\mbox{A}$ における $C_1$ の接線の傾きは $\mp\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ である．よって $\dfrac{\sqrt{3}}{1+t}=\mp\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ，つまり $t=-4，2$ となるが $t\gt -1$ より $t=2$ となる．

このとき， $\mbox{A}(2，\sqrt{3}\log 3)$ ， $\mbox{B}(-2，\sqrt{3}\log 3)$ より円 $C$ の半径は $4$ となるので弦 $\mbox{AB}$ に対応する円 $C$ の劣弧となす弓形の面積は $\dfrac{\pi}{6}\cdot 4^2-4\sqrt{3}=\dfrac{8\pi}{3}-4\sqrt{3}$ となる．

よって求める面積は
$2\displaystyle\int_0^2 \sqrt{3}\{\log 3-\log(1+x)\}\,dx-\dfrac{8\pi}{3}+4\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}\displaystyle\int_0^2 \log(1+x)\,dx+4\sqrt{3}\log 3-\dfrac{8\pi}{3}+4\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}\Bigl[ (1+x)\log (1+x)-(1+x)\Bigr]_0^2+4\sqrt{3}\log 3-\dfrac{8\pi}{3}+4\sqrt{3}$
$=-2\sqrt{3}\{(3\log3 -3)-(-1)\}+4\sqrt{3}\log 3-\dfrac{8\pi}{3}+4\sqrt{3}$
$=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}\log3 -\dfrac{8\pi}{3}$
となる．

2013年(平成25年)京都大学-数学(文系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の類題．