https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2013/Rikei

2025.05.10記

[4] $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x \leqq\dfrac{\pi}{2}$ における $\cos x+\dfrac{\sqrt3}{4}x^2$ の最大値を求めよ．ただし $\pi\gt 3.1$ および $\sqrt{3}\gt 1.7$ が成り立つことは証明なしに用いてよい．

2025.05.22記
Jordan の不等式から $\dfrac{2}{\pi}x\lt \sin x\lt x$ （ $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ ）であり． $\dfrac{2}{\pi}\lt \dfrac{\sqrt{3}}{2}\lt 1$ ，及び $\sin x$ がこの範囲で上に凸であることから $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$ を満たす $x$ （ $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ ）は唯一存在することがわかります．しかし，計算で押してもそれほど手間は変わりません．

[解答]
$f(x)=\cos x+\dfrac{\sqrt3}{4}x^2$ は偶関数なので $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で考える．
$f'(x)=-\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$ であるから， $f''(x)=-\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となり $f'(x)$ の増減表は次のようになる：

$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
$f'(x)$	$0$	$\searrow$	$\dfrac{\sqrt{3}\pi - 6}{12}$	$\nearrow$	$\dfrac{\sqrt{3}\pi - 4}{4}$

ここで $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\gt \dfrac{1.7\times 3.1-4}{4}=\dfrac{1.27}{4}\gt 0$ であるから $\sin p=\dfrac{\sqrt{3}}{2}p$ を満たす $p$ （ $\dfrac{\pi}{6} \lt p\lt\dfrac{\pi}{2}$ ）が唯一存在する．このとき $f(x)$ の増減表は次のようになる：

$x$	$0$	$\cdots$	$p$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$1$	$\searrow$	極小値	$\nearrow$	$\dfrac{\sqrt{3}\pi^2}{16}$

ここで $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\gt \dfrac{1.7\times 3.1\times 3.1}{16}=\dfrac{16.337}{16}\gt 1$ であるから求める最大値は $\dfrac{\sqrt{3}\pi^2}{16}$ となる．

$\cos x$ のマクローリン展開は
$1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{1}{720}(\cos(\theta x))x^6$ （ $0\lt\theta\lt 1$ ）
と書くことができるので， $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では
$\left|\cos x -\left(1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}\right)\right| \leqq \dfrac{1}{720}x^6\leqq \dfrac{\pi^6}{46080}\approx 0.021$
が成り立つ．よって
$f(x)=\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2\approx 1-\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}x^2+\dfrac{x^4}{24}$
が成立するので
$f(x)\approx\dfrac{(x^2-6+3\sqrt{3})^2}{24}+\dfrac{12\sqrt{3}-13}{8}$ $\approx\dfrac{(x^2-0.896^2)^2}{24}+0.973$
（ $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で誤差は $0.021$ 以下）
が成立する．正確には

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で
$\dfrac{(x^2-6+3\sqrt{3})^2}{24}+\dfrac{12\sqrt{3}-13}{8}-\dfrac{\pi^6}{46080}$ $\leqq f(x)$ $\leqq\dfrac{(x^2-6+3\sqrt{3})^2}{24}+\dfrac{12\sqrt{3}-13}{8}+\dfrac{\pi^6}{46080}$

となり，この評価を用いると，この範囲の $f(x)$ の最大値と最小値の差は $\dfrac{\pi^6}{23040}\approx 0.042$ で押えられることがわかる（気分としてはほとんど定数関数）．