https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2013/Rikei

2025.05.10記

[1] 平行四辺形 $\mbox{ABCD}$ において，辺 $\mbox{AB}$ を $1:1$ に内分する点を $\mbox{E}$ ，辺 $\mbox{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mbox{F}$ ，辺 $\mbox{CD}$ を $3:1$ に内分する点を $\mbox{G}$ とする．線分 $\mbox{CE}$ と線分 $\mbox{FG}$ の交点を $\mbox{P}$ とし，線分 $\mbox{AP}$ を延長した直線と辺 $\mbox{BC}$ の交点を $\mbox{Q}$ とするとき，比 $\mbox{AP}:\mbox{PQ}$ を求めよ．

本問のテーマ

アファイン変換（アフィン変換）
Homothety(homogeneous dilation)

2025.05.22記
$\overrightarrow{\mbox{CX}}=\alpha\cdot\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\mbox{CD}}+\beta\cdot\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{CB}}$ $\mapsto (\alpha，\beta)$ なるアファイン変換によって比 $\mbox{AP}:\mbox{PQ}$ は不変である．

[大人の解答]
$\mbox{C}\mapsto (0，0)$ ， $\mbox{D}\mapsto (4，0)$ ， $\mbox{B}\mapsto (0，3)$ なるアファイン変換によって $\mbox{A}\mapsto (4，3)$ ， $\mbox{E}\mapsto (2，3)$ ， $\mbox{F}\mapsto (0，1)$ ， $\mbox{G}\mapsto (3，0)$ となるので
直線 $\mbox{CE}\mapsto 3x-2y=0$ ，直線 $\mbox{FG}\mapsto x+3y=3$
となる．よってこのアファイン変換によって $\mbox{P}\mapsto\left(\dfrac{6}{11}，\dfrac{9}{11}\right)$ となる．よって
$\mbox{AP}:\mbox{PQ}=\dfrac{6}{11}:\left(4-\dfrac{6}{11}\right)$ $=3:19$
となる．

少し工夫して普通のベクトルで解くと次のようになる．

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{CP}}=s\overrightarrow{\mbox{CF}}+t\overrightarrow{\mbox{CG}}$ （ $s+t=1$ ）とおくと
$\overrightarrow{\mbox{CP}}=\dfrac{s}{3}\overrightarrow{\mbox{CB}}+\dfrac{3t}{2}\overrightarrow{\mbox{BE}}$ $\,\parallel\,\overrightarrow{\mbox{CE}}$ $=\overrightarrow{\mbox{CB}}+\overrightarrow{\mbox{BE}}$
であるから $\overrightarrow{\mbox{CB}}，\overrightarrow{\mbox{BE}}$ の係数は等しく $\dfrac{s}{3}=\dfrac{3t}{2}$ が成立する．よって $2s=9t$ となり， $s+t=1$ により $t=\dfrac{2}{11}$ ， $s=\dfrac{9}{11}$ となる．つまり $\overrightarrow{\mbox{CP}}=\dfrac{3}{11}\overrightarrow{\mbox{CB}}+\dfrac{3}{11}\overrightarrow{\mbox{BE}}$ $=\dfrac{3}{11}\overrightarrow{\mbox{CB}}+\dfrac{3}{22}\overrightarrow{\mbox{BA}}$ となる．

よって $\overrightarrow{\mbox{PA}}=\overrightarrow{\mbox{CA}}-\overrightarrow{\mbox{CP}}$ $=\dfrac{8}{11}\overrightarrow{\mbox{CB}}+\dfrac{19}{22}\overrightarrow{\mbox{BA}}$ となり， $\overrightarrow{\mbox{BA}}$ の係数に着目すると
$\overrightarrow{\mbox{QA}}=\dfrac{22}{19}\overrightarrow{\mbox{PA}}$
であることがわかる．よって $\mbox{AP}:\mbox{PQ}$ $=(22-19):19=3:19$ となる．

$f(\mbox{P})=\mbox{P}$ ， $f(\mbox{Q})=\mbox{A}$ なる Homothety $f$ （アファイン変換の特別な場合で，定点中心の(負の拡大も含む)拡大変換）を考えると
$f(直線\mbox{CF})=(直線\mbox{AD})$ となるので，
$\mbox{H}:=f(\mbox{C})\in (直線\mbox{AD})$ ， $\mbox{I}:=f(\mbox{F})\in (直線\mbox{AD})$
とすると $\mbox{AP}:\mbox{PQ}=\mbox{HI}:\mbox{CE}$ が成立する．

[うまい解答]
直線 $\mbox{AD}$ と直線 $\mbox{CE}$ ，および直線 $\mbox{FG}$ の交点をそれぞれ $\mbox{H}$ ， $\mbox{I}$ とおくと
$\triangle\mbox{PCF}$ ∽ $\triangle\mbox{PHI}$ であり，相似比は $\mbox{PQ}:\mbox{PA}=\mbox{FC}:\mbox{IH}$ となる．

ここで $\mbox{FC}=\dfrac{1}{3}\mbox{BC}$ ， $\mbox{IH}=\mbox{ID}+\mbox{DA}+\mbox{AH}$ $=\left(\dfrac{1}{9}+1+1\right)\mbox{DA}$ $=\dfrac{19}{9}\mbox{DA}$ であるから， $\mbox{PQ}:\mbox{PA}=\mbox{FC}:\mbox{IH}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{19}{9}=3:19$ となる．

Homothety はそのままホモセティーと呼ばれることが多いが，homogeneous dilation とも呼ばれることから，個人的には「膨張変換」と呼んでいるが他の誰も呼んでくれない（のでネットで膨張変換と検索しても何もでてこない，がこの記事で少しは広まるかも）．