https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2013/Bunkei

2025.05.10記

[3] $n$ と $k$ を自然数とし，整式 $x^n$ を整式 $(x-k)(x-k-1)$ で割った余りを $ax+b$ とする．

(1) $a$ と $b$ は整数であることを示せ．

(2) $a$ と $b$ をともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

2025.05.23記
2013年(平成25年)京都大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の類題．文字があって理系よりも難しそうに見えるが2次式が整数の範囲で因数分解されているのでむしろ簡単．というのも多項式 $f(x)$ を $(x-p)(x-q)$ で割った余りは $\dfrac{f(q)-f(p)}{q-p}(x-p)+q$ と書けるからである．

[解答]
(1) $f(x)=x^n$ を $(x-k)(x-k-1)$ で割った余りを $l(x)=ax+b$ とおくと
$l(k)=f(k)$ ， $l(k+1)=f(k+1)$ であるから， $y=l(x)$ は2点 $(k，f(k))$ ， $(k+1，f(k+1))$ を通る1次以下の関数となる．

よって $l(x)=\{(k+1)^n-k^n\}(x-k)+k^n$ $=\{(k+1)^n-k^n\}x-k\cdot(k+1)^n+(k+1)\cdot k^n$ となり，
$a=(k+1)^n-k^n$ ， $b=-k\cdot(k+1)^n+(k+1)\cdot k^n$
となる．よって $a，b$ は整数である．

(2) $a$ ， $b$ がともに素数 $p$ で割り切れると仮定すると，ユークリッドの互除法により $b+ka=k^n$ も素数 $p$ で割り切れることとなり， $k$ は素数 $p$ で割り切れることとなる．このとき $k+1$ は $k$ と互いに素であることから $k+1$ は $p$ で割り切れない．すると $a$ は $p$ で割り切れないこととなって矛盾する．

よって $a$ と $b$ をともに割り切る素数は存在しない．