https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2013/Bunkei

2025.05.10記

[1] $a$ を2以上の実数とし， $f(x)=(x+a)(x+2)$ とする．このとき $f(f(x))\gt 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つような $a$ の範囲を求めよ．

2025.05.22記

[解答]
4次方程式 $f(f(x))=(f(x)+a)(f(x)+2)=0$ は実数解を持たず， $x^2$ の係数が正であることから十分大きな $x$ に対して正の値をとる $2$ 次関数 $f(x)$ に対して $f(x)+a\geqq f(x)+2$ であるから，求める必要十分条件はすべての実数 $x$ に対して $f(x)+2\gt 0$ となること，つまり $f(x)+2=x^2+(a+2)x+2a+2=0$ の判別式が正となることである．

よって $(a+2)^2-4(2a+2)=a^2-4a-4=(a-2)^2-8\lt 0$ ，つまり $2-2\sqrt{2}\lt a\lt 2+2\sqrt{2}$ となるが，問題文により $a\geqq 2$ であるから，
$2\leqq a\lt 2+2\sqrt{2}$ となる．

高校では，「2次方程式 $f(x)=0$ の判別式」という言い方をするが，これと同じ意味で「2次式 $f(x)$ の判別式」という言い方もするので，上の[解答]において「 $f(x)+2$ の判別式が正」と書いても構わない．