https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2012/Rikei_5

2025.05.10記

[5] 次の命題(q)について，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

(q) $\triangle\mbox{ABC}$ と $\triangle\mbox{ABD}$ において， $\mbox{AC}\lt \mbox{AD}$ かつ $\mbox{BC}\lt \mbox{BD}$ ならば， $\angle\mbox{C}\gt \angle\mbox{D}$ である．

2025.05.17記

[解答]
(q) 正しくない．

十分小さい正数 $e$ に対して3辺の長さが $\rm AB=1$ ， $\mbox{AC}=1+e$ ， $\mbox{BC}=2e$ となる三角形に対する $\angle\mbox{C}$ は $e\to +0$ で $0$ となるので，いくらでも小さくすることができる．ここで3辺の長さが $\rm AB=1$ ， $\mbox{AD}=\mbox{BD}=1+2e$ となる三角形は $\mbox{AC}\lt \mbox{AD}$ かつ $\mbox{BC}\lt \mbox{BD}$ を満たし， $\angle\mbox{C}$ は $e\to +0$ で $60^{\circ}$ となるので，十分小さい $e$ に対して
$\angle\mbox{C}\lt \angle\mbox{D}$ が成立するので，これが反例である．