https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2012/Rikei_5

2025.05.10記

[5] 次の命題(p)について，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

(p) 正 $n$ 角形の頂点から3点を選んで内角の1つが $60^\circ$ である三角形を作ることができるならば， $n$ は3の倍数である．

2025.05.17記

[解答]
(p) 正しい．

正 $n$ 角形の外接円に対し，正 $n$ 角形の頂点から3点を選んで内角の1つが $60^\circ$ である三角形の中心角は $120^\circ$ であるから，正 $n$ 角形の隣り合う2頂点と外接円の中心からなる二等辺三角形の内角 $\dfrac{360^{\circ}}{n}$ の整数倍が $120^\circ$ でなければならない．よってある正の整数 $m$ を用いて $\dfrac{360m^{\circ}}{n}=120^{\circ}$ とならなければならず， $n=3m$ となるので $n$ は3の倍数である．