https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2012/Rikei

2025.05.10記

[4](1) $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることを証明せよ．

(2) $P(x)$ は有理数を係数とする $x$ の多項式で， $P(\sqrt[3]{2})=0$ を満たしているとする．このとき $P(x)$ は $x^3-2$ で割り切れることを証明せよ．

本問のテーマ

整数係数の多項式が有理数解を持つ条件

2025.05.17記
まずは背理法から．

[解答]
(1) $\sqrt[3]{2}\gt 0$ が有理数と仮定したとき $\sqrt[3]{2}=\dfrac{p}{q}$ を満たす自然数 $p，q$ （ $p，q$ は互いに素）が存在し， $p^3=2q^3$ から $p$ は偶数だから $p=2P$ とおくと $4P^3=q^3$ となり $q$ も偶数となり $p，q$ は互いに素であることに反して矛盾する．よって $\sqrt[3]{2}$ は無理数である．

次に素因数分解の一意性から．

[解答]
(1) $\sqrt[3]{2}\gt 0$ が有理数と仮定したとき $\sqrt[3]{2}=\dfrac{p}{q}$ を満たす自然数 $p，q$ が存在し， $p^3=2q^3$ が成立するが，この左辺の素因数 $2$ の個数は $3$ の倍数であり，右辺の素因数 $2$ の個数は $3$ で割って1余るので矛盾する．
よって $\sqrt[3]{2}$ は無理数である．

そして整数係数の1元方程式が有理数解を持つ条件，特に整数係数のモニック多項式が有理数解を持つ条件から．

[解答]
(1) モニック多項式 $f(x)=x^3-2$ の有理数解は存在するならば $x=\pm 1，\pm 2$ であるが，いずれを代入しても $f(x)\neq 0$ であるから，
$f(x)=0$ は有理数解を持たない．よって $f(x)=0$ の解である $\sqrt[3]{2}$ は有理数ではない．

(a) 整数係数の多項式 $a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots + a_{n-1}x+a_n=0$ （ $a_0a_n\neq 0$ ）が有理数解 $\dfrac{p}{q}$ （ $|p|，|q|$ は互いに素な自然数）を持つと仮定すると
$(a_0p^{n-1}+a_1p^{n-2}q+\cdots + a_{n-1}q^{n-1})p=+a_nq^n$
が成立するので， $a_n，q\neq 0$ から $a_n$ は $p$ を因数に持つ．同様に
$-a_0p^{n}=(a_1p^{n-1}+\cdots + a_{n-1}pq^{n-2}+a_{n}q^{n-1})q$
が成立するので， $a_0，p\neq 0$ から $a_0$ は $q$ を因数に持つ．よって
$\dfrac{p}{q}=\pm\dfrac{(a_nの約数)}{(a_0の約数)}$
の形である．特に整数係数のモニック多項式については $a_0=1$ であるから $\dfrac{p}{q}=\pm (a_nの約数)$ となる，つまり整数係数のモニック多項式が有理数解を持つならそれは整数解であり，それは定数項の（負の約数も含めた）約数となる．

次に(2)．

[解答]
(2) $P(x)=(x^3-2)Q(x)+ax^2+bx+c$ となるような有理数を係数とする $x$ の多項式 $Q(x)$ と有理数 $a，b，c$ が存在する．
このとき $P(\sqrt[3]{2})=a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c=0$ が成立する．

注）この時点で確かに $a=b=c=0$ だなと思えるようになることを目指す．

$2a+b\sqrt[3]{4}+c\sqrt[3]{2}=0$ でもあるから， $\sqrt[3]{4}$ を消去すると
$2a^2-bc=(b^2+ac)\sqrt[3]{2}$
が成立する．ここで $a，b，c$ は有理数であり(1)より $\sqrt[3]{2}$ は無理数であるから $2a^2-bc=b^2+ac=0$ となる．
よって $2a^3-abc=b^3+abc=0$ から $2a^3=-b^3$ が成立する．ここで $a\neq 0$ とすると
$\sqrt[3]{2}=-\dfrac{b}{a}$ となり左辺は無理数，右辺は有理数となって矛盾する．よって $a=0$ である．このとき $b\sqrt[3]{2}+c=0$ から $b\neq 0$ と仮定すると $\sqrt[3]{2}=-\dfrac{c}{b}$ となり左辺は無理数，右辺は有理数となって矛盾する．よって $b=0$ である．このとき $c=0$ となるので
$P(x)=(x^3-2)Q(x)$
となり， $P(x)$ は $x^3-2$ で割り切れる．