https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2012/Rikei_1

2025.05.10記

[1](2) 定積分 $\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{1}{x^2}\log\sqrt{1+x^2}\, dx$ の値を求めよ．

2025.05.13記
積分区間から最終的には $x=\tan\theta$ の置換を行うことになるが，そのためには $\log$ を微分したくなり，部分積分をすることになる．

[解答]
$\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{1}{x^2}\log\sqrt{1+x^2}\, dx$ $=\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{1}{2x^2}\log (1+x^2)\, dx$ $=\Bigl[-\dfrac{1}{2x}\log (1+x^2)\Bigr]_1^{\sqrt{3}}$ $+\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{1}{1+x^2}\, dx$ $=-\dfrac{\log 4}{2\sqrt{3}}+\dfrac{\log 2}{2} +\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$ $=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\log 2$
となる．