https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2012/Rikei_1

2025.05.10記

[1](1) $a$ が正の実数のとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}$ を求めよ．

本問のテーマ

最大値ノルム（ $L_{\infty}$ ノルム），最大値距離

2025.05.13記
2020年(令和2年)九州大学後期数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に $L_1，L_2$ 距離の話がある．

$(x，y)$ の $L_p$ ノルム $(|x|^n+|y|^n)^{\frac{1}{n}}$ の $n\to\infty$ の極限として $L_{\infty}$ ノルム $\max\{|x|，|y|\}$ が得られる．

[解答]
$\max\{1，a\}\leqq (1+a^n)^{\frac{1}{n}}\leqq 2^{\frac{1}{n}} \max\{1，a\}$
であるから，はさみうちの原理により
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}$ $=\max\{1，a\}$
となる．よって $0\lt a\lt 1$ のときは $1$ ， $a\geqq 1$ のときは $a$ となる．