2012年(平成24年)京都大学-数学(理系)

(1) が正の実数のとき を求めよ．

(2) 定積分 の値を求めよ．

[2] 正四面体 において，点 ，， をそれぞれ辺 ，， 上にとる．ただし ，， は四面体 の頂点とは異なるとする． が正三角形ならば， 辺 ，， はそれぞれ 辺 ，， に平行であることを証明せよ．

[3] 実数 ， が条件 を満たしながら動くとき がとりうる値の範囲を求めよ．

[4](1) が無理数であることを証明せよ．

(2) は有理数を係数とする の多項式で， を満たしているとする．このとき は で割り切れることを証明せよ．

[5] 次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

(p) 正 角形の頂点から3点を選んで内角の1つが である三角形を作ることができるならば， は3の倍数である．

(q) と において， かつ ならば， である．

[6] さいころを 回投げて出た目を順に とする．さらに

， （ ）

によって を定める．

となる確率 を求めよ．