https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2012/Bunkei

2025.05.10記

[5] 次の条件 $(\ast)$ を満たす正の実数の組 $(a，b)$ の範囲を求め，座標平面上に図示せよ．

$(\ast)$ $\cos a\theta = \cos b \theta$ かつ $0 \lt \theta \leqq \pi$

となる $\theta$ がちょうど1つある．

2025.05.19記
$y=\cos a\theta$ と $y=\cos b \theta$ のグラフを追跡しようとすると大変そうなので計算で処理をする．このとき， $\cos a\theta = \cos b \theta$ という条件は「 $(a+b)\theta$ または $(a-b)\theta$ 」の整数倍となるが，これをこのまま処理をしても良いが（例えば京大・入試数学51年の軌跡など）， $a+b=p$ ， $a-b=q$ とおいて $p，q$ の条件として書き下す方が間違いにくい．以下の[解答]では $\cos a\theta = \cos b \theta$ という条件を和積の公式から $\sin p\theta \sin q\theta =0$ と変形して条件を整理している．

[解答]
$a=b$ のときは任意の $\theta$ に対して $\cos a\theta = \cos b \theta$ が成立するので，条件 $(\ast)$ は満たさないので $a\neq b$ として良い．また，条件は $a，b$ について対称なので，まず $a\gt b$ の場合について考え，その条件を $b=a$ について対称移動させたものとあわせれば良い．

さて， $a=p+q$ ， $b=p-q$ ，つまり $p=\dfrac{a+b}{2}$ ， $q=\dfrac{a-b}{2}$ とおくと $a\gt b\gt 0$ は $p\gt q\gt 0$ となる．

今， $\cos a\theta-\cos b\theta=\cos (p+q)\theta-\cos (p-q)\theta =2\sin p\theta \sin q\theta =0$ となるのは， $p，q\neq 0$ により $\theta$ が $\dfrac{\pi}{p}$ または $\dfrac{\pi}{q}$ の整数倍となるときである．ここで $p\gt q\gt 0$ により，条件 $(\ast)$ を満たす $0 \lt \theta \leqq \pi$ なる $\theta$ がちょうど1つである必要十分条件は $\theta=\dfrac{\pi}{p}$ のみが $0 \lt \theta \leqq \pi$ を満たすことである．よって
「 $0\lt \dfrac{\pi}{p}\leqq \pi\lt \dfrac{2\pi}{p}$ かつ $\pi\lt \dfrac{\pi}{q}$ 」，
つまり
「 $1\leqq p\lt 2$ かつ $(0\lt ) q\lt 1$ 」
となる．よって $a\gt b$ のときの範囲は「 $2\leqq a+b\lt 4$ かつ $0\lt a-b\lt 2$ 」となり， $a\lt b$ のときの範囲はこの範囲を $a=b$ について対称移動させた「 $2\leqq a+b\lt 4$ かつ $0\lt b-a\lt 2$ 」となる．

よって求める範囲は「 $2\leqq a+b\lt 4$ かつ $0\lt |b-a| \lt 2$ 」となる．