https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2012/Bunkei_4

2025.05.10記

[4] 次の命題(q)について，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

(q) $\triangle\mbox{ABC}$ と $\triangle\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ において， $\mbox{AB}=\mbox{A}'\mbox{B}'$ ， $\mbox{BC}=\mbox{B}'\mbox{C}'$ ， $\angle\mbox{A}=\angle\mbox{A}'$ ならば，これら2つの三角形は合同である．

2025.05.19記

[解答]
(q) 正しくない．

$\mbox{AB}=\mbox{A}'\mbox{B}'=4$ ， $\mbox{BC}=\mbox{B}'\mbox{C}'=\sqrt{13}$ ， $\angle\mbox{A}=\angle\mbox{A}'=60^{\circ}$ とすると余弦定理により
$13=16+\mbox{CA}^2-4\mbox{CA}$ ，
$13=16+(\mbox{C}'\mbox{A}')^2-4\mbox{C}'\mbox{A}'$
となるので $\mbox{CA}=1$ ， $\mbox{C}'\mbox{A}'=3$ とすれば合同でない反例が作れる．

注） $0\lt A\lt 180^{\circ}$ を満たす角度 $A$ と $a，b，c\gt 0$ に対して（第二）余弦定理から
$b^2-2bc+c^2\lt a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\lt b^2+2bc+c^2$ ，
つまり $|b-c|\lt a \lt b+c$ を満たすので三角形の成立条件を満たすので，（第二）余弦定理から求められた辺の長さをもつ三角形は必ず存在する．

二辺夾角相等は合同条件であるが，二辺と夾角でない一角相等は一般には合同条件ではない．

相等する2辺の長さを $a，c$ とし夾角を $B$ とする．長さ $c$ の辺の夾角でない方の角度を $A$ とすると余弦定理から残りの辺の長さ $x$ は2次方程式 $a^2=c^2+x^2-2cx\cos A$ ，つまり
$x^2-(2c\cos A)x+c^2-a^2=0$ …①
の2解として得られる．

(i) ①が相異なる2の正の解を持つとき：
$\cos C=\dfrac{a^2+x^2-c^2}{2ax}$ $=\dfrac{x-c\cos A}{a}$ （これは第一余弦定理）
から $\cos C$ の値は異なるが，正弦定理から $\sin C=\dfrac{c\sin A}{a}$ は $x$ によらず一定であるので2つの $x$ に対する $C$ の値は異なり，和が $180^{\circ}$ である．つまり「2つつなげると二等辺三角形となる鋭角三角形と鈍角三角形」のペアとなる可能性があり，合同条件にはならない．