2012年(平成24年)京都大学-数学(文系)

(1) 2つの曲線 と とによって囲まれる図形の面積を求めよ．

(2) を3以上の整数とする．1から までの番号をつけた 枚の札の組が2つある．これら 枚の札をよく混ぜ合わせて，札を1枚ずつ3回取り出し，取り出した順にその番号を ，， とする． となる確率を求めよ．ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする．

[2] 正四面体 において，点 ，， をそれぞれ辺 ，， 上にとる．ただし ，， は四面体 の頂点とは異なるとする． が正三角形ならば，
辺 ，， はそれぞれ 辺 ，， に平行であることを証明せよ．

[3] 実数 ， が条件 を満たしながら動くとき がとりうる値の範囲を求めよ．

[4] 次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

(p) 正 角形の頂点から3点を選んで内角の1つが である三角形を作ることができるならば， は3の倍数である．

(q) と において，，， ならば，これら2つの三角形は合同である．

[5] 次の条件 を満たす正の実数の組 の範囲を求め，座標平面上に図示せよ．

かつ

となる がちょうど1つある．