https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2011/Rikei

2025.05.10記

[6] 空間内に四面体 $\mbox{ABCD}$ を考える．このとき，4つの頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ を同時に通る球面が存在することを示せ．

本問のテーマ

四面体の外心の存在

2025.05.11記

[うまい解答]
$\triangle\rm ABC$ の外接円の半径を $r$ とし，これが $x^2+y^2=r^2$ となるように座標を設定する．このとき球面 $x^2+y^2+(z-h)^2=r^2+h^2$ は $\triangle\rm ABC$ の外接円を含む．

$\mbox{D}(a，b，c)$ （四面体をなすので $c\neq 0$ である）とするとき， $a^2+b^2+(c-h)^2=r^2+h^2$ をみたす $h=\dfrac{a^2+b^2+c^2-r^2}{2c}$ が存在するので， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ を同時に通る球面が存在する．

これが一番シンプルだと思う．幾何学的には次のようにすると良い．

[解答]
$\rm A，B，C$ から等距離にある点の集合は， $\triangle\rm ABC$ の外心を通り平面 $\rm ABC$ に垂直な直線である． $\rm A，D$ から等距離にある点の集合は， $\rm AB$ の垂直2等分面である．

4点 $\rm A，B，C，D$ は同一平面上にないので，平面 $\rm ABC$ に垂直な直線と $\rm AB$ の垂直2等分面は平行とはならないので，これらの交点は唯一であり，この交点は4点 $\rm A，B，C，D$ から等距離にあるので， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ を同時に通る球面が存在する．