https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2011/Rikei

2025.05.10記

[5] $xyz$ 空間で，原点 $\mbox{O}$ を中心とする半径 $\sqrt{6}$ の球面 $S$ と3点 $(4，0，0)$ ， $(0，4，0)$ ， $(0，0，4)$ を通る平面 $\alpha$ が共有点を持つことを示し，点 $(x，y，z)$ がその共有点全体の集合を動くとき，積 $xyz$ が取り得る値の範囲を求めよ．

2025.05.11記
前半は，

球面 $S$ の方程式は $x^2+y^2+z^2=6$ であり，平面 $\alpha$ の方程式は $x+y+z-4=0$ である． $S$ の中心 $(0，0，0)$ は $\alpha$ の負領域にあり， $S$ 上の点 $(\sqrt{2}，\sqrt{2}，\sqrt{2})$ は $3\sqrt{2}=\sqrt{18}\gt \sqrt{16}=4$ により $\alpha$ の正領域にある．よって両者は共有点をもつ．

のように考えれば良い．後半は

$x，y，z$ を解とする方程式を考えて，それが虚数解を持たないような定数項の範囲

を考えれば良い．

[解答]
球面 $S$ の方程式は $x^2+y^2+z^2=6$ であり，平面 $\alpha$ の方程式は $x+y+z=4$ であるから， $(2，1，1)$ は $\alpha$ と $S$ の共有点である．

$\alpha$ と $S$ の共有点は $x+y+z=4$ ， $xy+yz+zx=5$ を満たすので $xyz=k$ とおくと， $x，y，z$ は $f(t)=t^3-4t^2+5=k$ の3解であり， $f'(t)=(t-1)(3t-5)$ を利用して $s=f(t)$ のグラフを書くことにより， $s=f(t)$ と $s=k$ が3点で交わる（接する場合は重複して数える）のは
$f\left(\dfrac{5}{3}\right)\leqq k\leqq f(1)$
のとき，つまり $\dfrac{50}{27}\leqq k\leqq 2$ のときであるから， $xyz$ の取り得る値の範囲は $\dfrac{50}{27}\leqq xyz \leqq 2$ である．