https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2011/Rikei

2025.05.10記

[3] $xy$ 平面上で， $y=x$ のグラフと $y=\left|\dfrac{3}{4}x^2-3 \right|-2$ のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

2025.05.11記
2次関数と直線で囲まれる部分の面積は区間幅の $3$ 乗に比例するので，面積比は区間幅の比の3乗となることを利用すると計算が楽になる．

[解答]
求める面積 $S$ は $y=|x^2-4|=|(x+2)(x-2)|$ のグラフと $y=\dfrac{4(x+2)}{3}$ によって囲まれる図形の面積 $T$ の $\dfrac{3}{4}$ に等しい．

これらグラフの交点の $x$ 座標は $-2$ ，および解と係数の関係から $\pm\dfrac{4}{3}+2$ であるから，
$V=\displaystyle\int_{-2}^{2} (x+2)(2-x)\,dx$ $=\dfrac{4^3}{6}$
とおき，
$U=\displaystyle\int_{-2}^{\frac{2}{3}} (x+2)\left(\dfrac{2}{3}-x\right)\,dx$ $=\dfrac{2^3}{3^3}V$ ，
$W=\displaystyle\int_{-2}^{\frac{10}{3}} (x+2)\left(\dfrac{10}{3}-x\right)\,dx$ $=\dfrac{4^3}{3^3}V$
とおくと
$T=W-2V+2U$ $=\dfrac{4^3-2\cdot 3^3+2\cdot 2^3}{3^3}V$ $=\dfrac{26}{3^3}V$
であるから，
$S=\dfrac{3}{4}T=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{26}{3^3}\cdot\dfrac{4^3}{6}$ $=\dfrac{16\cdot 13}{3^3}$ $=\dfrac{208}{27}$
となる．