https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2011/Rikei

2025.05.10記

[2] $a$ ， $b$ ， $c$ を実数とし， $\mbox{O}$ を原点とする座標平面上において，行列 $\begin{pmatrix} a & 1 \\ b & c \end{pmatrix}$ によって表される1次変換を $T$ とする．この1次変換 $T$ が2つの条件

(i) 点 $(1，2)$ を点 $(1，2)$ に移す

(ii) 点 $(1，0)$ と点 $(0，1)$ が $T$ によって点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ にそれぞれ移るとき， $\triangle\mbox{OAB}$ の面積が $\dfrac{1}{2}$ である

を満たすとき， $a$ ， $b$ ， $c$ を求めよ．

本問のテーマ

2次元線形変換で面積は行列式の絶対値倍になる

2025.05.11記

[解答]
(i)より $a+2=1$ ， $b+2c=2$ であり，(ii)より $|ac-b|=1$ であるから，これを解いて $(a，b，c)=(-1，0，1)，(-1，-4，3)$ となる．