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2011年(平成23年)京都大学-数学(理系)[1](2)

2025.05.10記

[1](2) 定積分 \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}(x+1)\sqrt{1-2x^2}\,dx を求めよ．

2025.05.11記
\displaystyle\int\sqrt{1-2x^2}\,dx は楕円の面積（拡大して円の面積）と結びつける．

[解答]
\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}(x+1)\sqrt{1-2x^2}\,dx
=-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2}{3}\Bigl[ (1-2x^2)^{\frac{3}{2}}\Bigr]_0^{\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\sqrt{1-t^2}\,dt=-\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}-1\right)+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{\sqrt{2}}{12}+\dfrac{\sqrt{2}\pi}{16}
である．



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