2011年(平成23年)京都大学-数学(理系)

(1) 箱の中に，1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を とする．これらのカードを箱に戻して，再び2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を とする． である確率を求めよ．

(2) 定積分 を求めよ．

[2] ，， を実数とし， を原点とする座標平面上において，行列 によって表される1次変換を とする．この1次変換 が2つの条件

(i) 点 を点 に移す

(ii) 点 と点 が によって点 ， にそれぞれ移るとき， の面積が である

を満たすとき，，， を求めよ．

[3] 平面上で， のグラフと のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

[4] は2以上の整数であり， （ ）であるとき，不等式 が成立することを示せ．

[5] 空間で，原点 を中心とする半径 の球面 と3点 ，， を通る平面 が共有点を持つことを示し，点 がその共有点全体の集合を動くとき，積 が取り得る値の範囲を求めよ．

[6] 空間内に四面体 を考える．このとき，4つの頂点 ，，， を同時に通る球面が存在することを示せ．