https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2011/Bunkei

2025.05.10記

[5] $0$ 以上の整数を $10$ 進法で表すとき，次の問いに答えよ．ただし， $0$ は $0$ 桁の数と考えることにする．また $n$ は正の整数とする．

(1) 各桁の数が $1$ または $2$ である $n$ 桁の整数を考える．それらすべての整数の総和を $T_n$ とする． $T_n$ を $n$ を用いて表せ．

(2) 各桁の数が $0$ ， $1$ ， $2$ のいずれかである $n$ 桁以下の整数を考える．それらすべての整数の総和を $S_n$ とする． $S_n$ が $T_n$ の15倍以上になるのは， $n$ がいくつ以上のときか．必要があれば， $0.301\lt \log_{10}2\lt 0.302$ および $0.477\lt \log_{10}3\lt 0.478$ を用いてもよい．

本問のテーマ

商による誤差の伝播を利用した評価（対数）

2025.05.12記
$\log$ の評価の類題は 2017年(平成29年)京都大学-数学(文系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 参照．

[解答]
全ての桁が $1$ である $n$ 桁の整数は $R_n=\dfrac{10^n-1}{9}$ である．

(1) そのような数は $2^n$ 個あり，そのうち特定の桁が $1，2$ となるものの個数は $2^{n-1}$ 個ずつであることに着目すると， $T_n=2^{n-1}\times (1+2)\cdot R_n$ $=\dfrac{2^{n-1}(10^n-1)}{3}$ である．

(2) $n$ 桁以下のものを考えるので， $n$ 桁未満の数は最高位に0が続く $n$ 桁の数と考えれば，(1) と同様にして
$S_n=3^{n-1}\times (0+1+2)\cdot R_n=\dfrac{3^{n-1}}{2^{n-1}} T_n$ となる．

よって $\dfrac{S_n}{T_n}\geqq 15$ は $\dfrac{3^{n-1}}{2^{n-1}}\geqq 15$ と同値で $3^{n-2}\geqq 10\cdot 2^{n-2}$ から
$n\geqq \dfrac{1}{\log_{10}3-\log_{10}2}+2$
と同値となる．ここで $0.177\lt \log_{10}3-\log_{10}2 \lt 0.175=\dfrac{7}{40}$ より
$5.7\lt \dfrac{7}{40}\lt\dfrac{1}{\log_{10}3-\log_{10}2}\lt\dfrac{7}{40}\cdot\left(1+\dfrac{2}{175}\right)$ $\lt 5.8\cdot \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=5.8+0.116=5.916$
となるので $n\geqq \dfrac{1}{\log_{10}3-\log_{10}2}+2$ を満たす最小の $n$ は $8$ である．

・ $\dfrac{7}{40}=5.\dot{7}1428\dot{5}$ である．

・もう一桁増やして評価すると $5.71\lt \dfrac{1}{\log_{10}3-\log_{10}2}\lt 5.72\cdot \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=5.72+0.1144=5.8433$ となる．雑に評価しても相対誤差が 2% で押えられるのだから，左辺を $5.8$ 以下で評価できれば右辺は $6$ 未満となる．