https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2011/Bunkei

2025.05.10記

[4] $xy$ 平面上で，連立不等式

$\left\{\begin{array}{l} |x|\leqq2，\\ y \geqq x，\\ y\leqq\left|\dfrac{3}{4}x^2-3\right|-2 \end{array}\right.$

を満たす領域の面積を求めよ．

2025.05.12記
2011年(平成23年)京都大学-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ題材．

[解答]
$|x|\leqq2$ においては， $\left|\dfrac{3}{4}x^2-3\right|-2=-\dfrac{3}{4}x^2+1$ となるので，連立不等式を満たす領域は $y=-\dfrac{3}{4}x^2+1$ と $y=x$ で囲まれる部分の面積であり，これらグラフの交点の $x$ 座標は $-2$ ，および解と係数の関係から $-\dfrac{4}{3}+2=\dfrac{2}{3}$ であるから，求める面積は
$\dfrac{3}{4}\displaystyle\int_{-2}^{\frac{2}{3}} (x+2)\left(\dfrac{2}{3}-x\right)\,dx$ $=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{8}{3}\right)^3$ $=\dfrac{64}{27}$
となる．