https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2011/Bunkei

2025.05.10記

[2] 四面体 $\mbox{OABC}$ において，点 $\mbox{O}$ から3点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を含む平面に下ろした垂線とその平面の交点を $\mbox{H}$ とする． $\overrightarrow{\mbox{OA}} \perp \overrightarrow{\mbox{BC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}} \perp \overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=2$ ， $|\overrightarrow{\mbox{OB}}|=|\overrightarrow{\mbox{OC}}|=3$ ， $|\overrightarrow{\mbox{AB}}|=\sqrt{7}$ のとき， $|\overrightarrow{\mbox{OH}}|$ を求めよ．

2025.05.12記
$\overrightarrow{\mbox{OB}} \perp \overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $|\overrightarrow{\mbox{OB}}|=|\overrightarrow{\mbox{OC}}|=3$ から $\mbox{B}(3，0，0)$ ， $\mbox{C}(0，3，0)$ と設定する．

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{OB}} \perp \overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $|\overrightarrow{\mbox{OB}}|=|\overrightarrow{\mbox{OC}}|=3$ から
$\mbox{B}(3，0，0)$ ， $\mbox{C}(0，3，0)$ と座標を設定する．

このとき， $\overrightarrow{\mbox{OA}} \perp \overrightarrow{\mbox{BC}}$ ， $|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=2$ から $\mbox{A}(a，a，\sqrt{4-2a^2})$ を置くことができ， $|\overrightarrow{\mbox{AB}}|=\sqrt{7}$ から $(a-3)^2+a^2+(4-2a^2)=7$ となり， $a=1$ となり， $\mbox{A}(1，1，\sqrt{2})$ となる．

よって平面 $\mbox{ABC}$ の方程式は

$\rm B，C$ は $x+y=3$ を満たし， $\rm A$ は $x+y=2$ を満たすことから $z$ の係数を調整すると

$(x+y)+\dfrac{z}{\sqrt{2}}=3$ となる．よって
$|\overrightarrow{\mbox{OH}}|$ $=\dfrac{3}{\sqrt{1+1+\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$
となる．

垂線の足と見ると，ピタゴラスの定理の差を利用した関係式
$\mbox{HB}^2-\mbox{HA}^2$ $=(\mbox{HB}^2+\mbox{OH}^2)-(\mbox{HA}^2+\mbox{OH}^2)$ $=\mbox{OB}^2-\mbox{OA}^2$ $=3^2-2^2=5$
が使いたくなるので，それを用いた[別解]を載せておく．

[別解]
$\mbox{BC}$ の中点を $\mbox{M}$ とおくと $\mbox{BC}=\sqrt{3}$ により $\mbox{BM}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ である．よって $\mbox{AM}=\sqrt{\mbox{AB}^2-\mbox{BM}^2}$ $=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ である．

$\mbox{BM}^2+\mbox{MH}^2=\mbox{HB}^2$ に
$\mbox{HB}^2-\mbox{HA}^2$ $=(\mbox{HB}^2+\mbox{OH}^2)-(\mbox{HA}^2+\mbox{OH}^2)$ $=\mbox{OB}^2-\mbox{OA}^2$ $=3^2-2^2=5$ ，
$\mbox{HA}+\mbox{MH}=\mbox{AM}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ ，
$\mbox{BM}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ， $\mbox{AM}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ を代入すると
$\dfrac{9}{2}+\left(\dfrac{\sqrt{10}}{2}-\mbox{HA}\right)^2=\mbox{HA}^2+5$
により， $\mbox{HA}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$ となる．

よって $\mbox{OH}=\sqrt{\mbox{OA}^2-\mbox{HA}^2}=\sqrt{4-\dfrac{2}{5}}$ $=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$ となる．