2011年(平成23年)京都大学-数学(文系)

(1) 辺 ，辺 ，辺 の長さがそれぞれ ，， の三角形 を考える． の2等分線と辺 の交点を とするとき，線分 の長さを求めよ．

(2) 箱の中に，1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を とする．これらのカードを箱に戻して，再び2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を とする． である確率を求めよ．

[2] 四面体 において，点 から3点 ，， を含む平面に下ろした垂線とその平面の交点を とする．，，，， のとき， を求めよ．

[3] 実数 が変化するとき，3次関数 と直線 のグラフの交点の個数はどのように変化するか． の値によって分類せよ．

[4] 平面上で，連立不等式

を満たす領域の面積を求めよ．

[5] 以上の整数を 進法で表すとき，次の問いに答えよ．ただし， は 桁の数と考えることにする．また は正の整数とする．

(1) 各桁の数が または である 桁の整数を考える．それらすべての整数の総和を とする． を を用いて表せ．

(2) 各桁の数が ，， のいずれかである 桁以下の整数を考える．それらすべての整数の総和を とする． が の15倍以上になるのは， がいくつ以上のときか．必要があれば， および を用いてもよい．