https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Rikei_B

2025.05.10記

[6] $n$ 個のボールを $2n$ 個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする．どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を $p_n$ とする．このとき，極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\log p_n}{n}$ を求めよ．

本問のテーマ

Stirling の公式（Stirling の近似）
区分求積法

2025.05.10記
1968年(昭和43年)東京工業大学-数学[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 参照

[解答]
$p_n=\dfrac{{}_{2n}\mbox{P}_n}{(2n)^n}$ であるから，
$\dfrac{\log p_n}{n}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\log\dfrac{k}{2n}$ $\to\displaystyle\int_1^2 \log\dfrac{x}{2}\,dx$ $=\Bigl[x\log x-x-\log_2\Bigr]_1^2$ $=\log 2-1$ （ $n\to\infty$ ）
となる．

$\log 2-1=\log\dfrac{2}{e}$ である．

[大人の解答]
$p_n=\dfrac{{}_{2n}\mbox{P}_n}{(2n)^n}=\dfrac{(2n)!}{n!\cdot (2n)^n}$
であり，スターリングの公式により， $\log N!\sim N\log N-N$ だから
$\dfrac{\log p_n}{n}=\dfrac{\log (2n)!-\log n!-n\log (2n)}{n}$
$\sim\dfrac{2n\log(2n)-2n-n\log n+n-n\log(2n)}{n}$ $=2\log(2n)-2-\log n+1-\log(2n)$ $=\log 2-1$ となる．