https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Rikei_B

2025.05.10記

[5] 次の問に答えよ．

(1) $n$ を正の整数， $a=2^n$ とする． $3^a-1$ は $2^{n+2}$ で割り切れるが $2^{n+3}$ では割り切れないことを示せ．

(2) $m$ を正の偶数とする． $3^m-1$ が $2^m$ で割り切れるならば $m=2$ または $m=4$ であることを示せ．

2025.05.10記
(1) $x^2-1$ ， $x^4-1$ ， $x^8-1$ の因数分解を考えてみる．

(2) $x^{2m+1}-1=(x-1)(x^{2m}+x^{2m-1}+\cdots+x+1)$ の因数分解を思い出す．

[解答]
$3^{2^n}-1=(3-1)(3+1)(9+1)(9^2+1)\times\cdots\times(9^{2^{n-2}}+1)$
$=2^3\cdot(9+1)(9^2+1)\times\cdots\times(9^{2^{n-2}}+1)$
であり，mod 4 で $9^{k}+1\equiv 1+1=2$ であるから
$(9^{2^{0}}+1)(9^{2^{1}}+1)\times\cdots\times(9^{2^{n-2}}+1)$
は $2^{n-1}$ で割り切れるが $2^n$ で割り切れない．よって
$3^{2^{n}}-1$ は $2^{n+2}$ で割り切れるが $2^{n+3}$ では割り切れない．

(2) $m=2^a\times b$ （ $a\geqq 1$ ， $b$ は奇数）とおくと
$3^m-1$ $=(3^{2^a}-1)((3^{2^a})^{b-1}+(3^{2^a})^{b-2}+\cdots +3^{2^a}+1)$
であり， $（3^{2^a})^{b-1}+(3^{2^a})^{b-2}+\cdots +3^{2^a}+1$ は奇数を $b$ 個足したものだから奇数となるので，(1) より $3^m-1$ は $2^{a+2}$ で割り切れ， $2^{a+3}$ で割り切れない．よって $a+3\geqq m=2^a\times b$ となることが必要十分．