https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Rikei_B

2025.05.10記

[4] $1\lt a\lt 2$ とする．3辺の長さが $\sqrt{3}$ ， $a$ ， $b$ である鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする．このとき $a$ を用いて $b$ を表せ．

2025.05.10記

[解答]
正弦定理により長さ $\sqrt{3}$ の辺の対角は $\dfrac{\pi}{3}$ であり，
長さ $a，b$ の辺の対角をそれぞれ $\alpha，\beta$ とすると
$a=2\sin\alpha$ ， $b=2\sin\beta$
が成立する．

注）このとき $1\lt a\lt 2$ より $\dfrac{1}{2}\lt \sin\alpha\lt 1$ から $\dfrac{\pi}{6}\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ であり， $\alpha+\beta=\dfrac{2\pi}{3}$ からこの三角形は確かに鋭角三角形となる．

このとき，
$b=2\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}-\alpha\right)=\sqrt{3}\cos\alpha+\sin\alpha=\sqrt{3}\sqrt{1-\dfrac{a^2}{4}}+\dfrac{a}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{12-3a^2}+a}{2}$
が成立する．