https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Rikei_B

2025.05.10記

[3] $a$ を正の実数とする．座標平面において曲線 $y=\sin x$ $(0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸とで囲まれた図形の面積を $S$ とし，曲線 $y=\sin x$ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$ ，曲線 $y=a\cos x$ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$ および $x$ 軸で囲まれた図形の面積を $T$ とする．このとき $S:T=3:1$ となるような $a$ の値を求めよ．

2025.05.10記

[解答]
$y=\sin x$ と $y=a\cos x$ の $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ における交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると
$a\cos\alpha=\sin\alpha$ ，つまり $a=\tan\alpha$ ，つまり

であり， $S=2$ であるから
$T=\displaystyle\int_0^{\alpha} \sin x\, dx$ $+\displaystyle\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} a\cos x\, dx$ $=1-\cos\alpha+a(1-\sin\alpha)=\dfrac{2}{3}$ ，
つまり
$\dfrac{1}{3}+a=(a^2+1)\cos\alpha=\dfrac{a^2+1}{\sqrt{a^2+1}}$
となり，左右辺を3倍して2乗すると $(1+3a)^2=9(a^2+1)$ となり， $a=\dfrac{4}{3}$ となる．