https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Rikei_B

2025.05.10記

[2] $x$ を正の実数とする．座標平面上の $3$ 点 $\mbox{A}(0，1)$ ， $\mbox{B}(0，2)$ ， $\mbox{P}(x，x)$ をとり， $\triangle\mbox{APB}$ を考える． $x$ の値が変化するとき， $\angle\mbox{APB}$ の最大値を求めよ．

本問のテーマ

レギオモンタヌスの問題

2025.05.10記

[解答]
$\rm A，B$ を通る円 $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$ 上の点 $\mbox{C}(1，1)$ における接線は $\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$ ，つまり $y=x$ となる．よって直線 $y=x$ 上の $\rm C$ 以外の点は全てこの円の外側にあるので
$\angle\mbox{APB}\leqq \angle\mbox{ACB}$ （等号成立は $\rm P=C$ ）
となる．よって $\angle\mbox{APB}$ は最大値 $\dfrac{\pi}{4}$ である．