https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Rikei_B

2025.05.10記

[1] 四面体 $\mbox{ABCD}$ において $\overrightarrow{\mbox{CA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{CB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{DA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{DB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{CD}}$ はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点 $\mbox{A}$ ，頂点 $\mbox{B}$ および辺 $\mbox{CD}$ の中点 $\mbox{M}$ の $3$ 点を通る平面は辺 $\mbox{CD}$ と直交することを示せ．

2025.05.10記

[解答]
位置ベクトルを $\mbox{A}(\vec{a})$ などと置くと， $\overrightarrow{\mbox{CA}}\perp\overrightarrow{\mbox{CB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{DA}}\perp\overrightarrow{\mbox{DB}}$ は
$(\vec{a}-\vec{c})\bullet(\vec{b}-\vec{c})=0$ ， $(\vec{a}-\vec{d})\bullet(\vec{b}-\vec{d})=0$
となる．前者から後者を引いて2で割ると
$\left(\dfrac{\vec{c}+\vec{d}}{2}-\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right)\bullet(\vec{c}-\vec{d})=0$
が成立する．ここで $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{N}$ とすると，この式は $\overrightarrow{\mbox{MN}}\perp\overrightarrow{\mbox{CD}}$ を意味しているので，これと与えられた条件 $\overrightarrow{\mbox{AB}}\perp\overrightarrow{\mbox{CD}}$ をあわせて，平面 $\mbox{ABM}\perp\mbox{CD}$ であることがわかる．