2010年(平成22年)京都大学-数学(理系乙)

[1] 四面体 において と ， と ， と はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点 ，頂点 および辺 の中点 の 点を通る平面は辺 と直交することを示せ．

[2] を正の実数とする．座標平面上の 点 ，， をとり， を考える． の値が変化するとき， の最大値を求めよ．

[3] を正の実数とする．座標平面において曲線 と 軸とで囲まれた図形の面積を とし，曲線 ，曲線 および 軸で囲まれた図形の面積を とする．このとき となるような の値を求めよ．

[4] とする．3辺の長さが ，， である鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする．このとき を用いて を表せ．

[5] 次の問に答えよ．

(1) を正の整数， とする． は で割り切れるが では割り切れないことを示せ．

(2) を正の偶数とする． が で割り切れるならば または であることを示せ．

[6] 個のボールを 個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする．どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を とする．このとき，極限値 を求めよ．