https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Rikei_A

2025.05.10記

[6] 座標空間内で， $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(1，0，0)$ ， $\mbox{B}(1，1，0)$ ， $\mbox{C}(0，1，0)$ ， $\mbox{D}(0，0，1)$ ， $\mbox{E}(1，0，1)$ ， $\mbox{F}(1，1，1)$ ， $\mbox{G}(0，0，1)$ を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線 $\mbox{OF}$ を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

本問のテーマ

立方体の対角線を軸とした回転（有名問題）
シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）

2025.05.11記
有名問題．1993年東工大後期[1]などで出題された．

以下の解答では， $t$ が変化すると厚みはその $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 倍変化するので，積分するときに $\dfrac{dt}{\sqrt{3}}$ としていることに注意．

[解答]
立方体を $x+y+z=t$ で切った切り口は

(i) $0\leqq t\leqq 1$ のとき，一辺の長さが $\sqrt{2}t$ の正三角形だから回転軸から頂点までの距離は $t$ に比例し，よって回転体のこの部分は底面の半径が $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ ，高さが $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の円錐となり，その体積は $\dfrac{2\sqrt{3}}{27}\pi$ となる．

(ii) $1\leqq t\leqq 2$ のとき，同じ長さの辺が交互になる等角六角形であり，回転軸から六角形の頂点までの距離は線分 $\mbox{DE}$ との交点 $(t-1，0，1)$ と回転軸上の点 $(t/3，t/3，t/3)$ との距離 $\sqrt{\dfrac{2}{3}t^2-2t+2}$ に等しいので回転体の断面積は
$\pi\left(\dfrac{2}{3}t^2-2t+2\right)$ $=\dfrac{2\pi}{3}\left\{\left(t-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right\}$
であるから，その体積は
$\displaystyle\int_1^2\dfrac{2\pi}{3}\left\{\left(t-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right\}\,\dfrac{dt}{\sqrt{3}}$ $=\dfrac{2\pi}{3\sqrt{3}}\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left( t^2+\dfrac{3}{4}\right)\,dt$ $=\dfrac{5\sqrt{3}\pi}{27}$
となる．