2010年(平成22年)京都大学-数学(理系甲)

[1] 1から5までの自然数を1列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき1番目と2番目と3番目の数の和と，3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重複なく1度ずつ用いるものとする．

[2] 四面体 において と ， と ， と はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点 ，頂点 および辺 の中点 の3点を通る平面は辺 と直交することを示せ．

[3] を正の実数とする．座標平面上の3点 ，， をとり， を考える． の値が変化するとき， の最大値を求めよ．

[4] 数列 は，すべての正の整数 に対して を満たしているとする．このとき，すべての に対して であることを示せ．

[5] を正の実数とする．座標平面において曲線 と 軸とで囲まれた図形の面積を とし，曲線 ，曲線 および 軸で囲まれた図形の面積を とする．このとき となるような の値を求めよ．

[6] 座標空間内で，，，，， ，，， を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線 を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．