https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Bunkei

2025.05.10記

[5] 座標空間内で， $\mbox{O}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}(1，0，0)$ ， $\mbox{B}(1，1，0)$ ， $\mbox{C}(0，1，0)$ ， $\mbox{D}(0，0，1)$ ， $\mbox{E}(1，0，1)$ ， $\mbox{F}(1，1，1)$ ， $\mbox{G}(0，0，1)$ を頂点にもつ立方体を考える．

(1) 頂点 $\mbox{A}$ から対角線 $\mbox{OF}$ に下ろした垂線の長さを求めよ．

(2) この立方体を対角線 $\mbox{OF}$ を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

本問のテーマ

立方体の対角線を軸とした回転（有名問題）
シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）

2025.05.11記
1993年東工大後期[1]などで出題された有名問題で，
2010年(平成22年)京都大学-数学(理系甲)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の誘導がついたもの．

[解答]
(1) $\triangle\rm OAF$ の面積を2通りで表すことにより
$\rm OA\cdot AF= OF\cdot AH$ であるから $\mbox{AH}=\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ となる．

(2) （2010年(平成22年)京都大学-数学(理系甲)[6]参照）

[大人の解答]
(2) $\mbox{H}$ は $\mbox{OF}$ を $1:2$ に内分する点である．

$\rm OF$ の中点 $\rm M$ と直線 $\rm OF$ と捩れの位置にある直線との距離は例えば $\rm AB$ の中点と $\rm M$ の距離 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから，シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）により，求める体積は
$2\times\dfrac{1}{3}\pi\mbox{AH}^2\cdot\mbox{OH}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{3}\mbox{OF}\cdot \pi \left\{\mbox{AH}^2 + 4\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\mbox{AH}^2\right\}$ $=\dfrac{1}{9}\mbox{OF}\cdot \pi \left\{3\mbox{AH}^2 + 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right\}$ $=\dfrac{1}{9}\cdot \sqrt{3}\cdot \pi \cdot 3$ $=\dfrac{\sqrt{3}\pi}{3}$
となる．

シンプソンの公式（ケプラーの樽公式） - 球面倶楽部零八式 mark II 参照．3次の積分が一撃なので検算用に知っておくと便利．例えば 3次関数と x 軸で囲まれる部分の面積 - 球面倶楽部零八式 mark II は難しい公式を覚える必要がなく簡単に導くことができるからである．シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）を導くのは簡単なので，公式を導いた後に適用する方が，そのまま積分するよりも早く確実となる場合も多い．