https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Bunkei

2025.05.10記

[4] 点 $\mbox{O}$ を中心とする正十角形において， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を隣接する2つの頂点とする．線分 $\mbox{OB}$ 上に $\mbox{OP}^2=\mbox{OB}\cdot\mbox{PB}$ を満たす点 $\mbox{P}$ をとるとき， $\mbox{OP}=\mbox{AB}$ が成立することを示せ．

2025.05.11記
$36^{\circ}$ や $72^{\circ}$ の三角比を求めたときのことを思い出そう．

[解答]
$\angle\mbox{AOB}=36^{\circ}$ ， $\angle\mbox{OAB}=\angle\mbox{OBA}=72^{\circ}$ であるから， $\angle A$ の2等分線と $\rm OB$ の交点を $\rm Q$ とすると $\triangle\mbox{OAB}$ ， $\triangle\mbox{ABQ}$ は $36^{\circ}，72^{\circ}，72^{\circ}$ の2等辺三角形で相似であり， $\triangle\mbox{QOA}$ は $108^{\circ}，36^{\circ}，36^{\circ}$ の2等辺三角形であるから，
$\mbox{OQ}^2=\mbox{AB}^2=\mbox{OB}\cdot\mbox{QB}$
が成立するので， $\mbox{OP}^2=\mbox{OB}\cdot\mbox{PB}$ から
$(\mbox{OQ}+\mbox{OP})(\mbox{OQ}-\mbox{OP})=\mbox{OB}(\mbox{QB}-\mbox{PB})$
となり， $\rm P，Q$ は線分 $\rm OB$ 上にあるので
$\mbox{OP}+\mbox{PB}=\mbox{OQ}+\mbox{QB}$
となることから
$(\mbox{OQ}+\mbox{OP}+\mbox{OB})(\mbox{OQ}-\mbox{OP})=0$
が成立する． $\mbox{OQ}+\mbox{OP}+\mbox{OB}\gt 0$ であるから $\mbox{OP}=\mbox{OQ}=\mbox{AB}$ となる．