https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Bunkei

2025.05.10記

[2] 座標平面上の点 $\mbox{P}(x，y)$ が $4x+y \leqq 9$ ， $x+2y \geqq 4$ ， $2x-3y\geqq-6$ の範囲を動くとき， $2x+y$ ， $x^2+y^2$ のそれぞれの最大値と最小値を求めよ．

本問のテーマ

線形計画法

2025.05.11記

[解答]
与えられた範囲は $\mbox{A}(2，1)$ ， $\mbox{B}(0，2)$ ， $\mbox{C}\left(\dfrac{3}{2}，3\right)$ とすると $\triangle\mbox{ABC}$ 三角形の内部という凸領域である．

・ $2x+y$ の最大値や最小値は $\triangle\mbox{ABC}$ の頂点でとる．頂点での $2x+y$ の値 $5，2，6$ を比較して最大値は $6$ ，最小値は $2$ である．

・ $x^2+y^2$ の最大値は $\triangle\mbox{ABC}$ の頂点でとる．頂点での $x^2+y^2$ の値 $5，4，\dfrac{45}{4}$ を比較して最大値は $\dfrac{45}{4}$ である．

・ $x^2+y^2$ の最小値は， $\mbox{O}(0，0)$ から直線 $\mbox{AB}$ に下した垂線の足 $\mbox{H}\left(\dfrac{4}{5}，\dfrac{8}{5}\right)$ が線分 $\rm AB$ 上にあり， $\mbox{C}$ が直線 $\rm AB$ に関して $\rm O$ の反対側にあることから， $\mbox{P}=\mbox{H}$ のときに最小となる．最小値は $\dfrac{80}{25}=\dfrac{16}{5}$ である．