https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2010/Bunkei_1

2025.05.10記

[1](1) 座標平面上で，点 $(1，2)$ を通り傾き $a$ の直線と放物線 $y=x^2$ によって囲まれる部分の面積を $S(a)$ とする． $a$ が $0 \leqq a \leqq 6$ の範囲を変化するとき， $S(a)$ を最小にするような $a$ の値を求めよ．

本問のテーマ

はみだし削り論法
カヴァリエリの原理

2025.05.11
はみだし削り論法により， $(1，2)$ が中点のときに最小となる．

[大人の解答]
$(1，2)$ を通る傾き $a$ の弦の左側の長さを $l(a)$ ，右側の長さを $r(a)$ とすると
$S'(a)=\dfrac{1}{2}\{r(a)\}^2-\dfrac{1}{2}\{l(a)\}^2$
であるから， $S'(a)=0$ となるのは $r(a)=l(a)$ ，つまり $(1，2)$ が弦の中点のときのみであり， $x^2-a(x-1)-2=0$ の解が $x=1\pm u$ （ $u\gt 0$ ）となることから，解と係数の関係から $a=2$ のときであり， $a\to\pm\infty$ で $S(a)\to+\infty$ であるから， $S(a)$ は $a=2$ で極小かつ最小である．

カヴァリエリの原理に基づいた有名な解法が知られている．

[解答]
$f(x)=-\{x^2-a(x-1)-2\}$ とおくと， $S(a)$ は $(1，1)$ を通り $y=-x^2$ と合同は放物線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積に等しい．よってその値は， $y=f(x)$ の頂点が $(1，1)$ のときに最小となる．このとき $f(x)=-(x-1)^2+1$ であるから $a=2$ となる．