2010年(平成22年)京都大学-数学(文系)

(1) 座標平面上で，点 を通り傾き の直線と放物線 によって囲まれる部分の面積を とする． が の範囲を変化するとき， を最小にするような の値を求めよ．

(2) において ， とする． の二等分線と辺 の交点を とする． となるとき， の面積を求めよ．

[2] 座標平面上の点 が ，， の範囲を動くとき，， のそれぞれの最大値と最小値を求めよ．

[3] 1から5までの自然数を1列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき1番目と2番目と3番目の数の和と，3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重複なく1度ずつ用いるものとする．

[4] 点 を中心とする正十角形において，， を隣接する2つの頂点とする．線分 上に を満たす点 をとるとき， が成立することを示せ．

[5] 座標空間内で，，，，，，，， を頂点にもつ立方体を考える．

(1) 頂点 から対角線 に下ろした垂線の長さを求めよ．

(2) この立方体を対角線 を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．