https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2009/Rikei_B

2024.10.06記

[5] $xy$ 平面上で原点を極， $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標に関して，極方程式 $r=2+\cos\theta$ （ $0\leqq\theta\leqq\pi$ ）により表される曲線を $C$ とする． $C$ と $x$ 軸とで囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

本問のテーマ

極方程式の回転体(リンク)

2025.11.14記（2024.10.06記とマージ）
極方程式の回転体についてはリンクの通りであるが，次のように部分積分で導くこともできる．

極表示された曲線 $x=r(\theta)\cos\theta，y=r(\theta)\sin\theta$ が原点からみて $y\geqq 0$ の範囲を半時計回りに進むとき（ $\theta=\alpha，\beta$ で $y=0$ ），曲線と $x$ 軸とで囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積 $V$ について
$\dfrac{V}{\pi} = \displaystyle\int_{\theta=\beta}^{\theta=\alpha} y^2\, dx$ $=\displaystyle\int_{\theta=\beta}^{\theta=\alpha} y^2\, \dfrac{dx}{d\theta}\, d\theta$ $=\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha} [ \{r(\theta)\}^2r'(\theta)\sin^2\theta\cos\theta-\{r(\theta)\}^3\sin^3\theta]\, d\theta$
$=\Bigl[\dfrac{\{r(\theta)\}^3\sin^2\theta\cos\theta}{3}\Bigr]_{\beta}^{\alpha}$ $-\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha}\dfrac{\{r(\theta)\}^3}{3} (2\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta)\,d\theta$ $-\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha}\{r(\theta)\}^3\sin^3\theta\, d\theta$
$=-\dfrac{2}{3}\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha} \{r(\theta)\}^3 \sin\theta\, d\theta$ $=\dfrac{2}{3}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \{r(\theta)\}^3 \sin\theta\, d\theta$
が成立する．つまり
$V=\dfrac{2\pi}{3}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \{r(\theta)\}^3 \sin\theta\, d\theta$
が成立する．

[解答]
$V$ $=\dfrac{2\pi}{3}\displaystyle\int_0^{\pi}(2+\cos\theta)^3\sin\theta\, d\theta$ $=\dfrac{2\pi}{3}\Bigl[-\dfrac{(2+\cos\theta)^4}{4}\Bigr]_0^{\pi}$ $=\dfrac{40}{3}\pi$
となる．