https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2009/Rikei_B

2025.10.29記

[4] $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ を $ad-bc=1$ をみたす行列とする（ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は実数）．自然数 $n$ に対して平面上の点 $\mbox{P}_n(x_n，y_n)$ を

$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

により定める． $\overrightarrow{\mbox{OP}_1}$ と $\overrightarrow{\mbox{OP}_2}$ の長さが $1$ のとき，すべての $n$ に対して $\overrightarrow{\mbox{OP}_n}$ の長さが $1$ であることを示せ．ここで $\mbox{O}$ は原点である．

2025.11.14記

[解答]
$\mbox{P}_1(\cos\alpha，\sin\alpha)$ ， $\mbox{P}_2(\cos\beta，\sin\beta)$
（ $0\leqq \alpha，\beta\lt 2\pi$ ）とおくと
$A\begin{pmatrix} 1 & \cos\alpha \\ 0 & \sin\alpha\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \cos\beta \\ \sin\alpha & \sin\beta\end{pmatrix}$
であるから，両辺の行列式をとり $1\cdot\sin\alpha=\sin(\beta-\alpha)$ が成立する．よって(i) $\beta=2\alpha$ ，(ii) $\beta=\pi$ のいずれかが成立する．

(i) $\beta=2\alpha$ のとき $A$ は原点中心 $\alpha$ 回転の1次変換であるからすべての $n$ に対して $\overrightarrow{\mbox{OP}_n}$ の長さが $1$ である．

(ii) $\beta=\pi$ のとき
$A\begin{pmatrix} 1 & \cos\alpha \\ 0 & \sin\alpha\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -1 \\ \sin\alpha & 0\end{pmatrix}$
から
$A^2\begin{pmatrix} 1 & \cos\alpha \\ 0 & \sin\alpha\end{pmatrix}$ $=-\begin{pmatrix} 1 & \cos\alpha \\ 0 & \sin\alpha\end{pmatrix}$
が成立する．よって $k$ を正の整数として
$\overrightarrow{\mbox{OP}_{2k}}=((-1)^k，0)$ ，
$\overrightarrow{\mbox{OP}_{2k-1}}=(-1)^{k-1}\overrightarrow{\mbox{OP}_{1}}$
が成立し，すべての $n$ に対して $\overrightarrow{\mbox{OP}_n}$ の長さが $1$ である．